Quando Frege publicou o segundo volume do livro "Os fundamentos da Aritmética" estava longe de sonhar que Russel viria a identificar um paradoxo inevitável no conceito central da sua obra. Este paradoxo tinha afinidades com a antiga contradição Grega sobre "Epiménides de Creta" que disse que todos os cretenses eram mentirosos. Se Epiménides estava a dizer a verdade, então estava a mentir, mas, se estava a mentir, então estava a dizer a verdade.Russel teve a ideia de que: Uma classe por vezes é, e por vezes não é, um membro de si própria. Anos mais tarde Russel produziu uma versão popularizada deste paradoxo. Imaginemos que o barbeiro de Sevilha barbeia todos os homens que não se barbeiam a si próprios. será que o barbeiro de Sevilha se barbeia a si próprio? Se sim, então não se barbeia a si próprio. Se não, barbeia-se a si próprio.
Por mais que Frege tentasse, não conseguia ultrapassar a astuta charada de Russel sobre a classe de todas as classes.
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